Rekenen; Hoe reken je de eindcoordinaten uit?

[Team Professor X]

Ach, 1+1 zal altijd wel 1+1 blijven of de wortel van 4.

Anders zouden we toch op andere waarden in hetzelfde werk komen? Gelukkig dat het ezelsbruggetjes zijn en niet een echte brug, anders zou die soms iets te slap berekend kunnen worden

[Goedweerloper]

Wat ook kan om verwarring te voorkomen is even een rekenvoorbeeldje plaatsen in de cache beschrijving. Dit heb ik voor mijn caches WWW 1 en WWW 2 gedaan en ik heb er positieve feedback over gekregen, dus het had zeker zin ondanks alle ezelsbruggetjes. Want je ziet het toch af en toe ander gebruik van haakjes en rekenvolgorde, bijvoorbeeld zoals ik het doe: (3+4)54 = (7)54 = 754. En niet zoiets als 7 x 54!

Een ander voorbeeldje: (4*5)(7-2) = (20)(5) = 205!

6 oktober 2005 bewerkt door Goedweerloper

[giga]

Wat ook kan om verwarring te voorkomen is even een rekenvoorbeeldje plaatsen in de cache beschrijving. Dit heb ik voor mijn caches WWW 1 en WWW 2 gedaan en ik heb er positieve feedback over gekregen, dus het had zeker zin ondanks alle ezelsbruggetjes. Want je ziet het toch af en toe ander gebruik van haakjes en rekenvolgorde, bijvoorbeeld zoals ik het doe: (3+4)54 = (7)54 = 754. En niet zoiets als 7 x 54!

Een ander voorbeeldje: (4*5)(7-2) = (20)(5) = 205!

<{POST_SNAPBACK}>

 

Dit soort sommetjes kunnen ook goed in stappen uitgelegd worden. Zoals bijvoorbeeld A=3+4, waarna N52 16.A54 het coordinaat wordt.

[Team Gelaen]

Ach, 1+1 zal altijd wel 1+1 blijven of de wortel van 4.

Anders zouden we toch op andere waarden in hetzelfde werk komen? Gelukkig dat het ezelsbruggetjes zijn en niet een echte brug, anders zou die soms iets te slap berekend kunnen  (knip foto)

 

Mischien is hier wel het (verkeerde) ezelsbruggetje gebruikt.......

 

Jan

[thira en candor]

Hou het gewoon simpel, dan is het voor iedereen duidelijk.

 

Over ezelsbruggetjes gesproken:

 

Ezelsbruggetjes

[kimaba]

ik blijf er bij dat de term meneer van dalen achterhaald is meer hoe de uitleg nu vandaag de dag ook is. het blijft allemaal het zelfde.

 

ook al wordt er nu meer met haakjes gewerkt om dingen anders op te schrijven.

 

Wiskunde verandert niet, maar de notatie wel.

 

Alles komt dan toch weer op het zelfde neer.

<{POST_SNAPBACK}>

 

Het is zeer nadrukkelijk een kwestie van notatie. Wat gebruikt wordt in de aangehaalde formules is de zogenaamde infix notatie. Die is gebaseerd op (inderdaad) infix operatoren.

 

De '+' is dan zo'n infix operator. Die heeft 2 operanden nodig, eentje ter linkerzijde, en eentje ter rechterzijde. De operator staat tussen de operanden in (vandaar infix).

 

De operanden zijn ofwel gewone getallen (die hoef je niet meer uit te rekenen), of weer resultaten van andere operatoren (dat noemen we ook wel expressies).

 

Nu is er dus het volgorde probleem, bijvoorbeeld:

 

a + b * c

 

Er zijn hier twee operatoren (+ en *), en die hebben elk twee operanden nodig. We kunnen deze hele expressie op twee manieren doen. Eerst de +, en dan de *, of eerst de * en dan de +.

 

Optie 1: eerst de +, dan de *

 

a + b * c = (a + * c

 

Hierbij zien we de * operator, welke ter rechterzijde een operand c heeft, en ter linkerzijde de operand (a+ wat een expressie is.

 

Volgens deze optie moeten we om de * operatie uit te kunnen voeren met de twee operanden, eerst de operand (a+ uitrekenen.

 

Optie 2: eerst de *, dan de +

 

a + b * c = a + (b * c)

 

Hierbij zien we de + operator, welke ter linkerzijde de operand a heeft, en ter rechterzijde de operand (b*c), welk een expressie is. Volgens optie 2 moeten we om de + operator uit te kunnen voeren met die twee operanden, eerst de operand (b*c) uit rekenen.

 

Waarom is dit nu interessant?

 

Omdat al dat gedoe over Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord alleen maar nodig is omdat we in de praktijk zoveel mogelijk proberen haakjes NIET op te schrijven. En daarom zijn er praktijk afspraken gemaakt over de notatie van infix expressies. Zo hebben we gesteld dat vermenigvuldigen voorrang heeft boven optellen.

 

De totale expressie a + b * c moet volgens de infix methode eigenlijk altijd ofwel zo: a + (b * c), ofwel zo: (a + * c geschreven worden, en waarom? Omdat dan duidelijk is wat de operanden zijn van de operatoren.

 

Zonder MVDWOA regeltjes, kun je eenvoudigweg niks anders dan altijd duidelijk maken welke operanden bij welke operatoren horen door middel van haakjes. Omdat we MVDWOA hebben afgesproken via het Nederlandse onderwijs, kunnen we bij a + (b * c) de haakjes weglaten, want het regeltje vertelt ons dat bij a + b * c, de rechteroperand van de + operator niet b mag zijn, want de vermenigvuldigings operator moet eerst. Je kunt zeggen dat de * operator sterker trekt aan de b dan de + operator.

 

 

Er zijn ook andere notaties, waarin dit probleem niet speelt. Bijvoorbeel de prefix notatie. Deze is gebaseerd op prefix operatoren die alleen aan de rechterkant operanden wil hebben.

 

De infix expressie a + (b * c) kan in prefix notatie zo geschreven worden:

 

+ a * b c

 

En de infix expressie (a + * c kan in prefix notatie zo geschreven worden:

 

* + a b c

 

Hierbij hoef je alleen maar steeds die operatoren waarvan de operanden getallen zijn uit te voeren, en de betreffende operator met z'n operanden te vervangen door het resultaat. Voorbeeldje:

 

* + a b c

 

De eerste operator waarbij de twee operanden direct rechts ervan getallen zijn is de +, dus die reken je het eerste uit. Daarna kun je de * operator uitvoeren, want daarvan zijn dan intussen beide operanden getallen.

 

Dit is ook van toepassing op ingewikkelde formules. Bijvoorbeeld de eerste infix formule uit de oorspronkelijke post:

 

a + (b*c*(d+e)*f) + g

 

Kun je zo schrijven in prefix notatie:

 

+ a + * b * c * + d e f g

 

Om het aanschouwlijk te maken:

 

1 + (2 * 3 * (4 + 5) * 6) + 7

 

komt in prefix notatie overeen met:

 

+ 1 + * 2 * 3 * + 4 5 6 7

 

Laten we dat eens uitrekenen, waarbij we de simpele regel hanteren dat een operator waar twee getalletjes achter staan, meteen uitrekent mag worden, evn in z'n geheel vervangen door het resultaat:

 

+ 1 + * 2 * 3 * + 4 5 6 7

 

Aha. + 4 5, dat geeft 9

 

+ 1 + * 2 * 3 * 9 6 7

 

Dan hebben we * 9 6, dat is dus 54

 

+ 1 + * 2 * 3 54 7

 

Nu hebben we * 3 54, dat levert 162 op,

 

+ 1 + * 2 162 7

 

Nu hebben we * 2 162, en dat is 324.

 

+ 1 + 324 7

 

+ 324 7 levert 331.

 

+ 1 331

 

is 332

 

332

 

Vrij eenvoudig, en nooit geen gezeur over haakjes en volgorde.

 

Er is ook een variant die postfix notatie heet, en waar de operanden allebei links van de operator staat. Het voorbeeldje ziet er dan zo uit:

 

a b c * d e + * f * g + +

 

In het getallen voorbeeld:

 

1 2 3 * 4 5 + * 6 * 7 + +

 

Nu moet je operatoren zoeken met twee getallen ter linkerzijde, die kun je uitrekenen en vervangen door het resultaat:

 

1 2 3 * 4 5 + * 6 * 7 + +

 

Hee! Twee tegelijk, maakt niet uit, en kan gewoon. De volgorde maakt ook niet uit. 2 3 * levert 6 op, en 4 5 + levert 9 op:

 

1 6 9 * 6 * 7 + +

 

6 9 * is 54

 

1 54 6 * 7 + +

 

54 6 *, is 324

 

1 324 7 + +

 

324 en 7 erbij, dat is 331,

 

1 331 +

 

Geeft 332, hetzelfde antwoord.

 

Wordt dit in de praktijk gebruikt? Ja, wetenschappelijke HP rekenmachines gebruiken de postfix methode. Daarbij worden eerst de operanden ingevoerd, en daarna de operator. De meeste, zoniet alle computers die met ingewikkelde expressies werken vormen de infix notatie om in postfix of prefix expressies, waarmee het voor computers makkelijker rekenen is.

 

Wat mij doet afvragen waarom we de kinderen op school de ingewikkelde infix notatie leren, waarna ze de prefix en postfix nooit meer als een natuurlijke notatie leren zien.

[Team Gelaen]

hm, of het nu duidelijker wordt.

 

Als je postfix en prefix in schrijftaal gaat gebruiken, krijg je mi grote problemen met spaties, zeker als je niet heel duidelijk schrijft.

 

Immers 1 2 3 4 5 +, is dat 12 345+ of iets anders.

 

Dat lijkt me meteen de reden dat men de infix methode heeft bedacht, die we met zijn allen duidelijk kunnen schrijven.

 

Ik kan me trouwens zomaar voorstellen dat beide andere notatievormen bedacht zijn om met de registers in een cpu te kunnen werken.

 

Dus ik stel voor dat we het zo houden en hooguit wat meer haakjes gebruiken.

 

Edit: bovenstaand is mijn mening en dus niet noodzakelijk helemaal waar.

 

Jan

6 oktober 2005 bewerkt door Team Gelaen

[Reintje de Vos †]

kimaba heeft er blijkbaar echt verstand van. Dat viel me gisteren al op.

 

Toch nog een kleine toevoeging over die meneer van Dalen: Dat ezelsbruggetje wordt op de basis school aan de leerlingen uitgelegd. Waarschijnlijk op het moment dat ze nog niet aan machtsverheffen, laat staan worteltrekken toe zijn. Daarom komt het dus niet voor in die ezelsbrug.

 

In geen enkel ezelsbruggetje komen de logaritme en goniometrische functies voor. Maar zij zijn ook onderwerp van een regel.

 

kimaba heeft gelijk: Bij twijfel haakjes plaatsen. En als je heel ver weg uit komt kijken wat de maker van de cache mogelijk verkeerd heeft gedaan.

[TheFamily]

Ach, mijn methode is veel simpeler.

Als de cache legger wil dat ik zijn caches niet bezoekt doet hij er maar veel van die onzin rekensommetjes   in en gegarandeerd sla ik dan zijn/haar cache over.

Er zijn nog zat mooie en wel te berekenen cache’s over.

 

Dat was ff geheel off topic maar zegt wel hoe ik er over denk

 

Barny

<{POST_SNAPBACK}>

 

 

Wij kunnen niet anders concluderen, dan dat we hier mee eens zijn..

[bosjager]

oeps...wat hebben we aangehaald....hoop antwoorden....

we gaan het nogmaals uitrekenen en daarna zoeken......

het kwam overigens wel zo ongeveer uit als wij de eerste maal uitgerekend hadden, wegens tijdgebrek niet echt gezocht, dus gaan op een later tijdstip serieus zoeken. Zo het blijkt allemaal toch verschillende meningen over hoe iets nou uitgerekend moet worden. Misschien iets voor de nieuwe nog te plaatsen "reken-caches" hier rekening mee te houden. (leuke woord speling trouwens) dat er toch wel op veel verschillende manieren naar gekeken kan worden en je dus op dood spoor kan zitten.

Wel jammer dat sommige mensen voor dit soort rekenwerk de cache zouden laten liggen, dat is denk ik niet de bedoeling toch?? Of ben ik nu te newbie??

[gerrit en lenie]

newbie of geen newbie Bosjager,waarom moeilijk als het makkelijk kan.

zoals ik al eerder schreef is het te moeilijk doen we ze gewoon niet.

 

lenie.

[skippy and company]

Ik heb midden jaren 80 al geleerd dat MVDWOA niet meer actueel was , maar dat het was HMVDOA (kan er ook niets aan doen , was al voor 1992 ) Het Maffe Vliegtuig Duikt Op Amsterdam.

 

 

Maar meneer van Dale was altijd wel handig op de lagere school toen ze toch nog niet met haakjes werkten.

 

Met de nieuwere methodes kwam er op de basisschool dus ook de haakjessommen en de nieuwe ezelbruggetjes.

 

En wat betreft dat worteltrekken.... Dat zit er niet in omdat het een basisschoolregel is.

 

Bovendien...caches met een hoog wiskundig gehalte gaan mijn pet toch ook te boven , en die sla ik gewoon over.

 

Maar ik heb overigens nog nooit een cacheberekening gezien waarbij ik moest worteltrekken

 

 

Trouwens , kijk eerst eens naar waar je zit als je de coördinaten moet uitrekenen , vaak zit het vlak bij wat je al hebt of bij het "spookcoördinaat.

bovenaan de cache)

 

Dus als je antwoord 0f 2000 is of 32 en het gaat om het tweede gedeelte van je coördinaten ( N 52 ?? 456) dan zal die 2000 zo wie zo wel onzin zijn.

 

Logisch verstand doet een hoop goed !

 

 

 

trouwens , mijn nieuwste (reken) cache ("Cijfertjes") heb je geen hogere wiskunde voor nodig.

Die is ook wel zonder MVDWOA / HMWDVOA / HMVDOP op te lossen

6 oktober 2005 bewerkt door skippy and company

[Twin Peaks]

Als ik niet snel genoeg uit een rekensom kan komen, ga ik naar de GOOGLE pagina en tik de hele formule in de zoekbalk.

 

Klik op zoeken en voila,

Google geeft het antwoord (plus een aantal alternatieve notaties)

 

Ook erg handig als je als cachelegger wilt checken of je formule wel klopt.

(dat zou soms geen kwaad kunnen)

[Ruud4d]

Als ik niet snel genoeg uit een rekensom kan komen, ga ik naar de GOOGLE pagina en tik de hele formule in de zoekbalk.

 

Klik op zoeken en voila,

Google geeft het antwoord (plus een aantal alternatieve notaties)

 

Ook erg handig als je als cachelegger wilt checken of je formule wel klopt.

(dat zou soms geen kwaad kunnen)

<{POST_SNAPBACK}>

 

 

En dat vind ik een heel handige tip. Bedankt!

 

Ruud4d

[walibi]

Als ik niet snel genoeg uit een rekensom kan komen, ga ik naar de GOOGLE pagina en tik de hele formule in de zoekbalk.

 

Klik op zoeken en voila,

Google geeft het antwoord (plus een aantal alternatieve notaties)

 

Ook erg handig als je als cachelegger wilt checken of je formule wel klopt.

(dat zou soms geen kwaad kunnen)

<{POST_SNAPBACK}>

 

Wat ook kan om verwarring te voorkomen is even een rekenvoorbeeldje plaatsen in de cache beschrijving. Dit heb ik voor mijn caches WWW 1 en WWW 2 gedaan en ik heb er positieve feedback over gekregen, dus het had zeker zin ondanks alle ezelsbruggetjes. Want je ziet het toch af en toe ander gebruik van haakjes en rekenvolgorde, bijvoorbeeld zoals ik het doe: (3+4)54 = (7)54 = 754. En niet zoiets als 7 x 54!

Een ander voorbeeldje: (4*5)(7-2) = (20)(5) = 205!

 

Tja, voer dit maar eens in bij google (4*5)(7-2) volgens de wiskunderegels (en google) is dit toch echt 100 en (3+4)54 is inderdaad 7*54!

Bedoel je wat anders dan de regels zeggen, dan is een uitleg met voorbeeld noodzakelijk om de cache te vinden, of je moet proberen te achterhalen wat de cachelegger bedoelt heeft.

 

Een beetje rekenen voor een cache vind ik niet erg, maar de opgave moet wel duidelijk zijn (en kloppen)!